Algebraische Topologie untersucht Eigenschaften und Strukturen von Räumen mit algebraischen Mitteln. In der algebraischen Topologie stehen zunächst Eigenschaften, die unabhängig sind von Größe, Krümmung oder Ecken, im Vordergrund des Interesses. Beispiele sind die Anzahl von Löchern und Verschlingung von Knoten.
Beispiele für Werkzeuge sind Homotopie- und Homologiegruppen. Mit ihrer Hilfe werden Gegenstände in Räumen characterisiert. Die erste Homotopiegruppe etwa klassifiziert Wege in einem Raum.
In wichtigen Fällen haben die Räume selbst schon eine algebraische Struktur, das bedeutet man kann in ihnen rechnen. Klassische Beispiele sind Gruppen, die selbst wieder topologische Räume sind. Sie finden in der Physik Anwendung. In solchen Fällen vererben sich die algebraischen Strukturen in den Räumen auf Strukturen, die auf den Homologie- oder Homotopiegruppen dieser Räume leben.
In diesem Zusammenhang ist die umgekehrte Frage von Interesse: Lassen sich additive oder multiplikative Strukturen auf den Homologie- oder Homotopiegruppen umgekehrt schon direkt in dem Raum realisieren? Aus topologischer Sicht sind dabei wieder die qualitativen Aussagen von größerer Bedeutung, die Strukturen interessieren "bis auf Homotopie", das bedeutet bis auf stetige Verformungen.
Die Arbeitsgruppe beschäftigt sich mit solchen "Strukturen bis auf Homotopie". Ein frühes Ergebnis war die systematische Auffächerung des Kommutativitätsbegriffs durch n-fache Schleifenräume. Anwendungen finden sich in der mathematischen Physik beim Verständnis der Yang-Baxter Gleichung und ihrer "höheren" Analoga und in der algebraischen Geometrie.
Projects:
Topologische DiagrammeViele Konstruktionen in der Topologie lassen sich als (Homotopie-)Limites oder Kolimites topologischer Diagramme interpretieren, so daß einerseits eine vereinheitlichende Behandlung als auch durch Analogieschlüsse eine Erweiter ung der Resultate möglich ist. Inhalt dieses Projektes ist die Entwicklung von mathematischen Hilfsmitteln für solche Diagramme und ihre Anwendung.
Förderung DFG -- SFB 343, A1 (Bielefeld)
Homotopieringräume und ihre K-Theorie
Ziel des Projektes ist eine Erweiterung der Algebra und Algebraischen Geometrie von Ringen zu Homotopieringräumen und deren Anwendung auf Fragen der Homotopietheorie und Differentialtopologie.
Kooperation Prof. Dr. Z. Fiedorowicz, Ohio State (USA); Dr. Th. Gunnarson, Lulea (Schweden); Prof. Dr. C. Ogle, Ohio State (USA); Prof. Dr. R. Staffeldt, New Mexico State (USA)
Förderung DFG -- SFB 343, A1 (Bielefeld)
Hermitesche K-Theorie von Ringen bis auf Homotopie
Klassische Hermitesche K-Theory hat Anwendungen in der Chirurgie der Mannigfaltigkeiten. Ersetzt man klassische Ringe durch die allgemeineren Homotopieringe, kann man Anwendungen auf die Untersuchung des Monoids der Selbsthomotopieäquivalenzen von Monoiden erwarten. Zunächst soll die Theorie der Hermiteschen K-Theorie von Homotopieringen entwickelt und dann mit konkurrierenden Ansätzen von Weiss und Williams verglichen werden.
Kooperation Prof. Dr. Z. Fiedorowicz, Ohio State (USA)
Förderung DFG -- SFB 343, A1 (Bielefeld)
Topologische Hochschild Homologie
1985 führte M. Bökstedt die topologische Hochschild Homologie für Funktoren mit Smash-Produkt ein. Sie verhält sich zu der geometrisch interessanten Theorie von Waldhausen wie die klassische Hochschild Homologie zur klassischen algebraischen K-Theorie: Es gibt eine verallgemeinerte Spurabbildung. Topologische Hochschild Homologie kann man daher für die Berechnung von algebraischen K-Gruppen heranziehen. Daneben läßt sie sich über die stabile K-Theorie auch bei Untersuchungen der adjungierten Darstellung einsetzen.
Kooperation Prof. Dr. Z. Fiedorowicz, Ohio State (USA); Prof. Dr. J. McClure, Purdue (USA); Prof. Dr. R. Staffeldt; Prof. Dr. F. Waldhausen, Bielefeld
Förderung DFG -- SFB 343, A1 (Bielefeld)
Quantengruppen und Kohärenz in Kategorien
Die Arbeiten über topologische Quantenfeldtheorie zeugen von einem engen Zusammenhang dieser Theorie mit der Theorie der Knoten und Schlingen. Aufbauend auf die Arbeiten von Drinfeld zeigte Turaev eine Verbindung zwischen Quantengruppen, der Theorie der Knoten, Zöpfe und Bänder auf, die wied erum mit der Theorie monoidalen Kategorien mit Zopf- und Bandstrukturen in Beziehung steht. Das Projekt beschäftigt sich mit der kategorientheoretischen Seite dieses Gebietes.
Kooperation Prof. Dr. Z. Fiedorowicz, Ohio State (USA)
Förderung DFG -- SFB 343, A1 (Bielefeld)
Topologische Kohärenzstrukturen in der Algebraischen Geometrie
In einer grundlegenden Arbeit konnte Lawson den Homotopietyp einer geeignet stabilisierten Chowvarietät bestimmen. Für die abgeleitete Lawson - Homologie konstruierten Friedlander und Gabber eine nach ersten Berechnungen nicht-triviale Abbildung von Blochs höheren Chowgruppen. Das Projekt beschäftigt sich mit der Untersuchung der in diesem Zusammenhang vorliegenden homotopisch-algebraischen Struktur und ihrer Bedeutung für quantitative Aussagen.
Kooperation Prof. Dr. P. Lima-Filho, Texas A&M (USA)
Förderung DFG -- SFB 343, A1 (Bielefeld)
Desuspensionen
Seit einigen Jahren sind Bedingungen an den Zusammenhang und die Dimension eines CW-Komplexes X mit geeigneter Komultiplikation bekannt, die garantieren, daß X vom Homotopietyp einer Einhängung ist. Ziel dieses Projekts ist eine systematische Untersuchung dieser Bedingungen, insbesondere ob sie bestmöglich sind, und ihre Erweiterung.
Kooperation Dr. J. Klein, Bielefeld
Förderung DFG -- SFB 343, A1 (Bielefeld)