Mathe-Treff

Heinz Spindler

Beschreibung: Mathematica ist ein sehr interessantes Programm, um am Computer mathematische Experimente durchzuführen, seien es nun komplizierte numerische Berechnungen, numerisches oder symbolisches Lösen von Gleichungen, auch von Differenzialgleichungen oder die grafische Darstellung in 2D und 3D. Mit jeder neue Version wird die Leistungsfähigkeit verbessert. Die neueste Version, Mathematica 8, ist an der Uni Osnabrück als Campus-Linzenz verfügbar. Ein Seminar-Raum mit 20 modern ausgestatteten PCs steht für den Mathe-Treff zur Verfügung, um die Power von Mathematica kennenzulernen.
Mathematica kann die für public key Kryptosysteme erforderlichen riesigen Primzahlen generieren, Funktionen aus Zahlentheorie, Analysis und Geometrie verarbeiten, stochastische Prozesse simulieren, mit einfachen Grafik-Bausteinen komplizierte 3D-Gebilde konstruieren und vieles mehr. Im Mathe-Treff wollen wir uns nach einem kurzen Streifzug durch Mathematica mit einem konkreten mathematischem Thema beschäftigen: Dem Dreikörperproblem. Schon Poincaré und viele andere Mathematiker vor ihm beschäftigten sich mit diesem Problem. Die Frage ist einfach gestellt: Wie verläuft die Bewegung dreier Himmelskörper unter dem gegenseitigigen Einfluss der Gravitation über einen längeren Zeitraum.
Obwohl diese Bewegung auf Grund der Newtonschen Bewegungsgleichungen, das sind gewisse nichtlineare Differenzialgleichungen, vollständig determiniert und im Prinzip berechenbar ist, ist es praktisch nicht möglich Vorhersagen über den Verlauf zu machen, und es können schreckliche Dinge wie Kollisionen nicht ausgeschlossen werden. Man spricht von deterministischem Chaos. Es gibt keine Lösungsformeln, wie man sie von einfachen linearen Differenzialgleichungen kennt. Aber mit den modernen Computern kann man die Lösungen beliebig exakt numerisch berechnen, dann visualisieren und so einen Eindruck davon bekommen, was ein chaotisches System auszeichnet. Das geht auch mit Mathematica. Wir werden es im Mathe-Treff an einem einfachen Modell ausprobieren.

Matthias Schulte

Beschreibung: Black Jack ist eines der in Kasinos am meisten gespielten Glücksspiele, weil der Vorteil, den die Bank gegenüber dem Spieler hat, relativ gering ist. Nach einer kurzen Einführung in die Spielregeln wird gezeigt, wie mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung die optimale Spielstrategie und der damit einhergehende erwartete Gewinn und Verlust bestimmt werden können. Abhängig davon, wie oft die Karten neu gemischt werden, kann der Spieler seine Erfolgsaussichten verbessern, wenn er sich die schon gespielten Karten merkt, und seine Strategie daran anpasst. Die Grundidee dieser Strategien und deren Erfolgsaussichten werden vorgestellt.

Holger Brenner

Beschreibung: In diesem Mathetreff beschäftigen wir uns - passend zur Weihnachtszeit - mit bestimmten mathematischen Schneeflocken, den Kochschen Schneeflocken. Sie bilden eine fraktale Familie von ebenen Schneeflocken, die zunehmend komplizierter werden. Das einfachste Familienglied ist ein gleichseitiges Dreieck; das nächste Glied entsteht, indem man in jeder Kante das mittlere Drittel durch ein gleichseitiges Dreieck nach außen ersetzt. So ergeben sich Schneeflocken mit 3, 12, 48, ... Kanten. Wir fragen uns in diesem Treff, wie das Grenzverhalten (im Unendlichen) dieser Figuren aussieht, und insbesondere, wie sich der Flächeninhalt und die Randlänge entwickeln.

Matthias Reitzner

Beschreibung: Zu Weihnachten erhoffen sich manche Geschenke. Wie geht man z.B. mit einem solchen Geschenk um:
"Die reiche Tante aus Amerika sendet 2 Umschläge mit Geld, einen davon darf man als Weihnachtsgeschenk behalten, der andere gehört dann den Eltern. Man darf einen wählen, öffnen und Geld zählen. Laut Tante ist im anderen Umschlag nun entweder der doppelte oder der halbe Betrag. Soll man wechseln?"
Wir werden uns dieser und verschiedenen anderen Fragestellungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie widmen, deren Resultate auf den ersten Blick eventuell eher überraschend sind.

Winfried Bruns

Beschreibung: Immer wenn in er Adresszeile bes Internet-Browsers das Kürzel "https" auftaucht, kommunizieren wir mit der anderen Seite (Bank, Amazon, Facebook) über eine verschlüsselte Verbindung. Eigentlich ist das ja unmöglich, denn vor dem Aufbau dieser Verbindung haben wir mit der Gegenseite keine Verschlüsselung vereinbart. Das es dennoch geht, liegt an der raffinierten verwendung von "Falltür-Funktionen", die auf zahlentheoretischen Methoden beruhen und entscheidend die Eigenschaften von Primzahlen verwenden. Wir werden die Prinzipien der "public key cryptography" und ihre zahlenteheoretischen Grundlagen besprechen.

Tim Römer

Beschreibung: Mathematisch motivierte Aufgaben faszinieren weilweit Millionen von Rätselfreunden. Ein Beispiel für solch ein mathematisches Rätsel ist Sudoku. Bücher, Zeitungen und entsprechende Angebote im Internet bieten jederzeit die Möglichkeit eine große Anzahl an Sudokus zu lösen. Neben nahe liegenden Fragestellungen existieren auch viele mit Sudokus verbundene mathematische Probleme, wie zum Beispiel die Frage nach der Anzahl alle möglichen Sudokus. In diesem Vortrag wird die Mathematik des Sudoku betrachtet und viele interessante Aspekte dieses Zahlenrätsels werden vorgestellt.

Winfried Bruns

Beschreibung: Im Alltag werden reelle Zahlen x durch Dezimalbrüche dargestellt oder wenigstens angenähert. Zum Beispiel kennen wir die Annäherung π ≈ 3,14159. Als Dezimalbruch hat diese Näherung den großen Nenner 100.000. Mit Hilfe von Kettenbrüchen kann man Näherungen x ≈ a/b finden, bei denen der Nenner b sehr klein ist im Verhältnis zur Güte der Näherung. Für π erhält man zum Beispiel die Näherungen 22/7 oder 355/113, wobei 355/113 eine genauso gute Näherung wie 3,14159 liefert, aber mit wesentlich kleinerem Nenner. Kettenbrüche finden Anwendungen zum Beispiel bei der Konstruktion von Planetarien, und sie erklären, weshalb unsere Tonleiter 12 Halbtöne hat. Wir werden die Konstruktion von Kettenbrüchen diskutieren und Kettenbruchentwicklungen einiger "berühmter" Zahlen betrachten.

Matthias Reitzner

Beschreibung: Hat er abgeschrieben oder nicht?! Diese Frage hielt in der jüngsten Vergangenheit die politische Diskussion am Kochen. Und die gleiche Frage ist unter Umständen für Hausaufgaben und Klassenarbeiten von nicht unerheblichem Interesse (wenn auch mit von verschiedenen Seiten
unterschiedlich erwünschten Antworten). Wir möchten in diesem Mathe-Treff der Frage nachgehen, wie wahrscheinlich Übereinstimmungen von verschiedenen Texten sind. Ab wann kann man von Abschreiben sprechen? Und wann können zwei Schüler von einem völlig normalen Grad an Übereinstimmung sprechen, und haltlose (?) Unterstellungen des Lehrers entrüstet zurückweisen?

Oliver Röndigs

Beschreibung: Jede Landkarte kann so mit vier Farben gefärbt werden, dass benachbarte Länder verschiedene Farben erhalten. Anhand von kleinen Computerspielen soll dieser Sachverhalt ausprobiert werden. Unter anderem wird so ein kleiner Einblick in das Gebiet der Graphentheorie gegeben.

Tim Römer

Beschreibung: Der allgemeinen Meinung entgegenstehende Aussagen werde im Alltag auch mit Paradoxa bezeichnet. In der Mathematik ist ein Paradoxon eine logische Aussage, die gleichzeitig mit ihrer Negation wahr ist. Das paradoxe an vielen Paradoxa ist, dass sie eigentlich keine sind. Diese scheinbaren Paradoxa haben jedoch häufig zu wichtigen Erkenntnisfortschritten geführt. In dieserVeranstaltung werden einige interessante Paradoxa diskutiert und verwandte Fragestellungen vorgestellt.

Oliver Röndigs

Beschreibung: Ein Ziel beim Fliesenlegen ist es, mit möglichst wenig verschiedenen Fliesen schöne Muster zu legen. Schönheit liegt im Auge des Betrachters, aber Symmetrieeigenschaften und Abwechslungsreichtum spielen bei der Schönheit von Mustern eine Rolle. In dem Vortrag werden diverse Muster und Fliesentypen unter diesen Gesichtspunkten vorgestellt.

Sigrid Knust

Beschreibung: Es ist oft kein leichtes Problem, einen Spielplan für eine Saison in einer Sportliga zu erstellen: Jede Mannschaft soll genau einmal gegen jede andere spielen, jede Mannschaft soll nur ein Spiel pro Runde haben, Heim- und Auswärtsspiele sollen sich für jede Mannschaft möglichst abwechseln, usw. Im Vortrag wird gezeigt, wie mathematische Modelle und Methoden bei der Planung helfen können.

Holger Brenner

Beschreibung: Ein Würfel gehört zu den sogenannten platonischen Körpern, das sind räumliche Figuren, die sehr viele Symmetrien besitzen. Beispielsweise kann jede Ecke in jede andere Ecke überführt werden, oder jede Seite in jede Seite. Bei diesen Symmetrien bleibt der Würfelmittelpunkt stets an seinem Platz, es handelt sich jeweils um eine Drehung um eine Raumachse.
In diesem Mathe-Treff sollen sämtliche Symmetrien eines Würfels beschrieben und ihre Gesamtzahl bestimmt werden. Die Verknüpfung von diesen Drehungen führt wieder zu neuen Drehungen, wodurch eine neue Struktur auf der Menge aller Würfelsymmetrien entsteht, die sogenannte Würfelgruppe. Anhand dieses Beispiels soll der mathematische Gruppenbegriff eingeführt und erläutert werden.

Julio Jose Moyano Fernandez

Beschreibung: Seit der Grundschule sind die Begriffe von natürlichen und ganzen Zahlen bekannt. In diesem Vortrag werden wir uns mit diesen Zahlen von einem höheren Standpunkt aus beschäftigen: Wir definieren sie vernünftig und zeigen die einfachsten zentralen Ergebnisse in der Theorie; insbesondere erklären wir, welche Rolle hier die sogenannten Primzahlen spielen.

Achim Wübker

Beschreibung: Jeder von Ihnen hat vermutlich schon einmal Monopoly gespielt. Die erste Phase des Spiels ist Glück: Man würfelt und hofft, "gute" Straßen ergattern zu können. Wenn alle Straßen verteilt sind, kommt eine strategische Komponente dazu: Man tauscht seine Straßen gegen andere, natürlich mit dem Ziel, schließlich als Gewinner das Spiel zu beenden.
In diesem Mathe-Treff wollen wir untersuchen, wie wertvoll welche Straßen wirlich sind und damit die Grundlagen für sinnvolle Tausch-Strategien legen. Zu diesem Zweck werden wir in die Theorie der Markov-Ketten reinschnuppern.

Judith Plümer

Beschreibung: Krawattenknoten sind im mathematischen Sinne keine Knoten. Wir wollen uns mit der Frage beschäftigen, wie wir dieses (für viele Manner) alltagliche Problem des Krawattebindens mathematisch beschreiben können. Wir werden daraus auch bestimmen, wieviele Krawattenknoten es theoretisch gibt, und ob wir mathematische Kriterien für die Ästhetik dieser Knoten bestimmen können.

Rainer Vogt

Beschreibung: Die räumliche Struktur von Makromolekülen oder Ribonukleinsäuresträngen ist von großer Bedeutung. Bei ihrer Untersuchung spielt die Knotentheorie eine wichtige Rolle. Nach einer kurzen Einführung in die Knotentheorie wollen wir ein Verfahren kennen lernen, das uns hilft, Knoten zu unterscheiden. Dabei lernen wir auch, modulo einer natürlichen Zahl n zu rechnen.

Achim Wübker

Beschreibung: Viele Phänomene erscheinen auf den ersten Blick sehr verblüffend. Warum funktioniert beispielsweise der ein oder der andere Kartentrick? Beginnend mit einem sehr einfachen Beispiel werden wir weitere Beispiele sehen, die zeigen, dass sich hinter einem guten Kartentrick häufig eine interessante mathematische Idee verbirgt. Genauer gesagt besteht der Trick manchmal darin, einem Publikum Zufälligkeit vorzuspielen, wo gar kein ,,Zufall" ist. Aber was ist eigentlich Zufall? Wir wollen dieser Frage nachgehen und anhand eines Experimentes sehen, wie schwierig es sein kann, den Zufall zu generieren.

Matthias Reitzner

Beschreibung: Ein 1 Meter langer Stab ist ein Meter lang. Und ein Quadrat mit einem Meter Seitenlänge ist ein Quadratmeter groß. Aber wie groß ist ein rechtwinkeliges Dreieck mit Seitenlängen 1 Meter? In der Schule lernt man für den Flächeninhalt eines rechtwinkeligen Dreiecks die Formel A = ab/2 und das scheint unsere Frage zu beantworten. Doch wieso eigentlich ab/2 und nicht A = ab/4. Auch daraus würden sich eine Menge spannender (und leider falscher) Formeln ergeben. Wir werden uns mit der Frage beschäftigen, wie vernünftiges Messen von einfachen Flächen möglich ist.

Michael Matthies

Beschreibung: Luchse fressen Hasen, bis es fast keine mehr gibt. Dann verhungern die Luchse und die Hasen können sich wieder vermehren. Das geht so lange, bis wieder genügend Luchse nachgewachsen sind und die Zahl der Hasen dezimieren. Man beobachtet also ein zeitlich versetztes Auf-und-Ab der Räuber (Luchs) und Hasen (Beute), ohne das eine der beiden Populationen ausstirbt. Räuber-Beute-Systeme treten in vielen anderen Ökosystemen, z.B. Haie und Beutefische, auf und sind ein wesentlicher Bestandteil von Nahrungsnetzen. Auch der Mensch verhält sich wie ein Räuber, wenn er natürliche Wälder abholzt oder die Weltmeere fast leer fischt. Mathematisch wurden Räuber-Beute-Systeme in den 20er-Jahren des letzten Jahrhunderts unabhängig voneinander von Lotka und Volterra beschrieben. Die Teilnehmer am Mathe-Treff sollen selbständig ein Modell von Räuber-Beute-Systemen entwickeln und auf dem Computer simulieren. Dazu setzen wir moderne Simulationssoftware ein und untersuchen die Entwicklung der Populationen bei verschiedenem Wachstums- und Fressverhalten.

Winfried Bruns

Beschreibung: Die Kreiszahl π, die uns bei der Berechnung von Kreisumfang und Kreisfläche begegnet, hat die Mathematiker seit Jahrtausenden fasziniert. Heute taucht sie in den Schlagzeilen der Presse und des Internets durch immer neue Rekorde bei ihrer Berechnung auf astronomisch viele Dezimalstellen: Im Januar dieses Jahres wurden 2,7 Billionen Stellen erreicht. Ein solcher Rekord ist natürlich ohne moderne Computer nicht denkbar, aber er setzt auch raffinierte mathematische Methoden voraus, die man selbst in einem Mathematikstudium nicht ohne Weiteres kennenlernt. Wir wollen wichtige Eigenschaften von π diskutieren, antike und moderne an Methoden zu seiner Berechnung studieren und selbst ein wenig experimentieren.

Peter Sendfeld

Beschreibung: Jeder kennt die Situation, im Supermarkt stets an der falschen Kasse zu stehen, den Bus oft um nur ein paar Sekunden zu verpassen oder gerade dann bei der Kontrolle der Hausaufgaben fällig zu sein, wenn man sie vergessen hat. Oft sagt man dann: Pech gehabt. Aber handelt es sich bei diesen Situationen tatsächlich um Pech? Verbirgt sich hinter all dem eine Gesetzmäßigkeit oder einfach nur der Zufall? Der Zufall scheint uns häufig zu begleiten - und er folgt dabei tatsächlich meist einer Gesetzmäßigkeit. Wir wollen anhand kleiner Experimente und logischen Denkens herausfinden, was Zufall ist und ob es möglich ist, zufälliges Pech zu vermeiden. Warum stehen wir immer in der falschen Schlange. Kann man entscheiden, ob eine Reihe aus Nullen und Einsen zufällig enstanden ist oder nicht?

Heinz Spindler

Beschreibung: Mathematica ist eines der bekanntesten Computeralgebrasysteme und wird in vielen Bereichen eingesetzt sowohl in der Industrie und im Finanzsektor als auch in Schulen und Hochschulen (http://www.wolfram.com/) Die Universität Osnabrück ist ein Mathematica campus. Im Mathe-Treff wollen wir einen Streifzug durch Mathematica unternehmen. Ich werde zunächst eine praktische Einführung (Mathematica als Taschenrechner...) gegeben. Sie können dabei das Programm selbst am PC ausprobieren. Es steht ein Computerraum mit 15 PCs zu unserer Verfügung.Wir werden dann mit 3D-Grafik experimentieren, angefangen über die Darstellung einfacher geometrischer Figuren wie Tetraeder, Würfel, Ikosaeder, Kugel, Torus bis hinzu zu Grafik mithilfe von Parameterdarstellungen oder impliziten Gleichungen. Wichtige Bausteine für Parmeterdarstellungen sind Sinus und Kosinus. Damit kann man verblüffende Dinge machen.Auch der Zufall soll ins Spiel kommen. Wie erzeugt man Zufallswege? Vielleicht haben Sie konkrete Beispiele, die Sie ausprobieren möchten (Anregungen findet man unter http://demonstrations.wolfram.com/ Natürlich ist Mathematik im Spiel. Als Voraussetzung für die Teilnahme wäre es schön, wenn Sie mit cartesischen Koordinaten x,y - in 3D kommt noch eine dritte Koordinate z hinzu - vertraut wären.

Oliver Roendigs

Beschreibung: Das Vierfarbenproblem lautet wie folgt: Färbe eine Länderkarte mit nur vier verschiedenen Farben so ein, dass benachbarte Länder verschiedene Farben haben. Die Lösung des Problems hat über ein Jahrhundert auf sich warten lassen, und kein Mensch hat sie jemals ganz nachvollziehen können. Im Mathe-Treff werden wir anhand einiger Beispiele das Vierfarbenproblem kennenlernen, es eleganter beschreiben und es vermutlich nicht lösen. Das Vierfarbenproblem für Landkarten auf anders geformten Planeten lässt sich leichter lösen, auch wenn die Bedeutung für das praktische Leben noch weniger klar ist als bei dem Vierfarbenproblem auf der Erde. Aber es geht hier in erster Linie um interessante Mathematik, und nicht darum, den Farbkasten eines Kartographen möglichst klein zu halten.

Tim Roemer

Beschreibung: 4 Dimensionen kann man sich nicht vorstellen? Das stimmt nicht, manche 4-dimensionale Objekte kann man sogar zeichnen. In dieser Veranstaltung beschäftigen wir uns mit sogenannten Polytopen, zu denen zum Beispiel Tetraeder, Würfel und Oktaeder im 3-dimensionalen Raum gehören. Polytope gibt es aber auch in höheren Dimensionen. Wir betrachten einige grundlegende Eigenschaften von Polytopen und entwickeln eine Methode, mit der wir 3- oder 4-dimensionale Polytope visualisieren können.

Judith Pluemer

Beschreibung: Wir beschäftigen uns mit sogenannten "Zero-Knowledge Proofs". Sie dienen zur Authentifizierung, wie sie beispielsweise im Internet gebraucht wird. Wesentliche mathematische Grundlage ist dabei das Rechnen mit Restklassen wie beim RSA-Algorithmus (PGP). Wir werden uns mit dieser Art des Rechnens vertraut machen, die Idee von "Zero-Knowledge Proofs" allgemein und in einem Algorithmus kennenlernen und die Frage von Sicherheit in diesem Kontext diskutieren.

Gitta Kutyniok

Beschreibung: Die Mars Exploration Rover Mission von NASA ist eine Raumfahrtmission der NASA, um den Planet Mars mit Hilfe von automatischen Geländewagen zu erforschen. Jeder der Geländewagen hat 9 Kameras, deren Bilder verwendet werden sollen, um die Oberfläche und Geologie des Mars zu erforschen. Diese Bilder müssen abgespeichtert und zur Erde gesandt werden. Aufgrund der großen Datenmengen werden die Bilder mit Hilfe von sogenannten Wavelets auf 10% ihrer ursprünglichen Größe komprimiert, bevor sie zur Erde gesandt werden. Wavelets sind eine neue mathematische Methodik, um verschiedenste Daten zu analysieren und zu komprimieren. Waveletkompression ist ähnlich der JPEG Kompression, die in digitalen Kameras verwendet wird, nur um ein Vielfaches besser. Bei dieser Veranstaltung des Mathe Treffs werden wir kennenlernen, wie Bildverarbeitung mittels Wavelets funktioniert und dies auch selbst anhand einiger Beispiele ausprobieren. Nähere Informationen zur Mars Exploration Rover Mission können Sie unter: http://de.wikipedia.org/wiki/Mars_Exploration_Rover finden.