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Prof. Dr. Matthias Reitzner
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Forschungsprojekte

  1. Binoide und ihre Algebren

    Ein Binoid ist eine einfache kombinatorische Struktur und ihre assoziierten Algebren liefern eine gemeinsame Verallgemeinerung von Monoidringen und Stanley-Reisner-Ringen. In diesem Projekt werden topologische Eigenschaften, infinitesimale Eigenschaften oder die Darstellungstheorie von Binoiden im Mittelpunkt stehen.
    Betreuer: Brenner, Bruns, Römer, Röndigs

  2. Kombinatorische Charakterisierung der Stabilitätseigenschaften von Vektorbündeln

    Eine Familie von Monomen im Polynomring definiert ein Vektorbündel auf dem projektiven Raum. Die Eigenschaft, semistabil zu sein, kann dabei als eine kombinatorische Eigenschaft der Exponenten verstanden werden. Dies führt zum Studium von diskreten Gitterpunktkonfigurationen. Mögliche Projekte liegen in der Bestimmung, unter welchen numerischen Bedingungen es solche Konfigurationen gibt und wie sich ihre Häufigkeitasymptotisch verhält.
    Betreuer: Brenner, Bruns, Reitzner, Spindler

  3. Differentielle symmetrische Signatur für Monoidringe

    Eine Monoidringe und affine torische Varietäten sind eine wichtige Beispielklasse für das Wechselspiel zwischen kombinatorischen und algebraisch-geometrischen Strukturen. Der Module der Differentiale ist die algebraische Version des Tangentenbündels der torischen Varietät. Da diese Singularitäten besitzt, ist dieses Bündel nur auf einer großen offenen Menge lokal frei. Das asymptotitische Verhalten der symmetrischen Potenzen des Moduls der Zariski-Differentiale ist ein Maß für die Singularität und steht im Fokus dieses Projektes. Wenn der definierende Kegel des Monoidringes simplizial ist, so ist die Asymptotik recht gut verstanden und wird durch die symmetrische Signatur beschrieben, die mit der F-Signatur, einem Begriff aus der positiven Charakterisitk, übereinstimmt. Aber schon für die einfachsten nicht-simplizialen Kegel ist das asymptotische Verhalten und die Beziehung zur F-Signatur völlig offen.
    Betreuer: Brenner, Bruns, Juhnke-Kubitzke, Römer, Röndigs

  4. Hilbert-Basen simplizialer Kegel

    Die Osnabrücker Software Normaliz berechnet Hilbert-Basen rationaler Kegel. Mit Hilfe stochastischer Methoden sollen Algorithmen für die Berechnung von Hilbert-Basen verbessert werden. Im Zentrum stehen dabei Gitterpunkt-Verteilungen in Fundamental-Parallelotopen simplizialer Kegel.
    Betreuer: Bruns, Reitzner, Römer

  5. Optimierung unter Unsicherheiten

    In der Praxis sind oft viele Daten eines Problems nicht genau bekannt, sie können nur in Form von Wahrscheinlichkeitsverteilungen für gewisse Parameter (z.B. aus Intervallen) geschätzt werden. Das Ziel der Optimierung besteht dann darin, diese Informationen so zu nutzen, dass man bei der konkreten Realisierung eine bessere Lösung erhält als wenn man die Unsicherheiten komplett ignoriert. Während beim Einsatz stochastischer Programmierung meistens der Erwartungswert optimiert wird (d.h. die Lösung ist im Mittel gut), betrachten Robustheitskonzepte hauptsächlich den worst-case (d.h. es wird die Situation für den schlimmsten Fall optimiert). Das Ziel dieses Projektes besteht darin, theoretische Grundlagen und Lösungsalgorithmen zu entwickeln, die Datenunsicherheiten geeignet behandeln (stochastische Optimierung, verschiedene Robustheitskonzepte). Die Konzepte sollen für konkrete Anwendungen verglichen und auf ihre Praxistauglichkeit überprüft werden
    Betreuer: Knust, Döring, Reitzner

  6. Optimierungsprobleme mit speziellen Strukturen

    Eine Vielzahl bekannter Optimierungsprobleme, wie z.B. das TSP oder Graphenfärbung, sind im Allgemeinen NP-schwer. In praktischen Anwendungen haben die zugrunde liegenden Daten jedoch häufig spezielle Strukturen, wie z.B. Monge-Matrizen oder Graphen mit bestimmten Eigenschaften, die die Entwicklung und den Einsatz effizienterer Lösungsalgorithmen ermöglichen. In diesem Projekt sollen Optimierungsprobleme mit speziellen Strukturen (z.B. Lager- oder Schedulingprobleme) analysiert und effiziente Lösungsalgorithmen entwickelt werden.
    Betreuer: Knust, Juhnke-Kubitzke

  7. Polynomiale Approximation von Funktionen vieler Veränderlicher

    Die Approximation von Funktionen durch Polynome ist eine Standardaufgabe der angewandten Analysis. Hauptziel dieses Projektes ist die Untersuchung hochdimensionaler polynomialer Approximationsprobleme unter Nutzung von algebraischen Hilfsmitteln. Eine wesentliche Anwendung ist bereits das multivariate Momentenproblem und damit die superauflösende Bildgebung. Erfolgreiche Methoden der linearen Algebra wurden dabei jüngst um spezifische der kommutativen Algebra ergänzt. Die Anwendungsfelder im zweiten Zeitabschnittes des Graduiertenkollegs sind die Niedrigrangapproximation von Tensoren und das sogenannte Phasenrekonstruktionsproblem.
    Betreuer: Kunis, Römer

  8. Seitenenumeration von Mannigfaltigkeiten

    Gegeben eine triangulierbare Mannigfaltigkeit ist es von Interesse, wie viele Ecken eine Triangulierung mindestens benötigt oder allgemeiner, welche f-Vektoren für eine solche Triangulierung in Frage kommen. Dies sollte unter anderem von topologischen Eigenschaften der Mannigfaltigkeit abhängen. In diesem Projekt sollen diese und ähnliche Fragen untersucht werden, auch für den Fall, dass die Triangulierung zusätzliche kombinatorische Eigenschaften, wie z.B. Balanciertheit oder flagness, aufweist.
    Betreuer: Juhnke-Kubitzke, Reitzner

  9. Kombinatorische Struktur zufälliger Polytope

    Ein zufälliges Polytop wird durch die konvexe Hülle von zufällig gewählten Punkten erzeugt. Von Interesse sind Verteilungseigenschaften kombinatorischer Funktionale von Zufallspolytopen, z.B. des f-Vektors oder der Anzahl von Schalen des sogenannten 'konvexen-Hüllen-Schälens'.
    Betreuer: Reitzner, Juhnke-Kubitzke, Bruns

  10. Betti Zahlen zufälliger simplizialer Komplexe

    Ein zufälliger simplizialer Komplex wird durch die Wahl zufälliger Punkte in einem Grundraum und daraus gebildeten Simplices - falls Punkte in einer speziellen räumlichen Lage sind - erzeugt. Topologische Eigenschaften zufälliger simplizialer Komplexe können durch die Betti Zahlen beschrieben werden. Vor allem interessieren einen die Verteilungseigenschaften dieser zufälligen Betti Zahlen.
    Betreuer: Reitzner, Juhnke-Kubitzke, Römer, Röndigs

  11. Kombinatorische Eigenschaften zufälliger Mosaike

    Ein zufälliges Mosaik ist eine zufällige Zerlegung des Raumes in konvexe Polytope. In diesem Projekt soll die kombinatorische Struktur der Ursprungszelle und der typischen Zelle untersucht werden.
    Betreuer: Reitzner, Römer

  12. Algebraische und kombinatorische Strukturen in der Statistik

    In der algebraischen Statistik werden einerseits algebraische und kombinatorische Methoden verwendet, um Probleme der Statistik zu studieren. Andererseits haben Ergebnisse der Statistik neue Fragestellungen in der Algebra und der diskreten Mathematik motiviert. Ziel des Projekts ist es algebraische und kombinatorische Strukturen zu untersuchen, die etwa für das Verständnis von statistischen Modellen von Bedeutung sind.
    Betreuer: Römer, Juhnke-Kubitzke, Reitzner

  13. Hermitesche K-Theorie für Unendlichkategorien

    In diesem Projekt soll die existierende Theorie für hermitesche K-Theorie für exakte Kategorien mit schwachen Äquivalenzen und Dualität auf Unendlichkategorien mit Dualität erweitert werden. Das Ziel ist es, Vergleichsresultate für die neue Theorie und neue Beispiele wie hermitesche K-Theorie von E-unendlich Ringspektren zu erlangen.
    Betreuer: Röndigs, Brenner, Spitzweck

  14. Homotopietypen von Varietäten

    Ziel ist eine Klassifizierung von kombinatorisch handhabbaren Varietäten mittels Daten der (stabilen) Homotopietheorie.
    Betreuer: Röndigs, Brenner, Spitzweck

  15. Zufällige Abbildungen simplizialer Komplexe

    Innerhalb dieses Projektes werden homotopietheoretische Eigenschaften zufälliger Abbildungen von einfachen simplizialen Komplexen untersucht.
    Betreuer: Röndigs, Reitzner

  16. Derivierte motivische Fundamentalgruppen

    Es sollen derivierte motivische Fundamentalgruppen für z.B. Artin-Tate-Motive, Tate-Motive mit ganzzahligen Koeffizienten über der projektiven Geraden ohne drei Punkte und über Modulräumen von Kurven konstruiert und studiert werden. Es soll eine derivierte Grothendieck-Teichmüller-Gruppe eingeführt und mit der derivierten motivischen Fundamentalgruppe der ganzen Zahlen mit ganzzahligen Koeffizienten verglichen werden.
    Betreuer: Spitzweck, Röndigs, Brenner

  17. Vergleichsresultate in derivierter algebraischer Geometrie

    Es sollen die Zugänge zu derivierter algebraischer Geometrie von Lurie und von Toen-Vezzosi verglichen werden. Es soll auf dem Vergleichsresultat von Porta für derivierte Deligne-Mumford Stacks (wobei simpliziale kommutative Ringe benutzt werden) aufbauen und auf Objekte innerhalb der spektralen algebraischen Geometrie abzielen. Auf dem Weg soll der Umgang mit unendlich-kategoriellen Techniken erlernt werden.
    Betreuer: Spitzweck

Weitere Einrichtungen

Das Zentrum für Promovierende an der Universität Osnabrück (ZePrOs) ist eine Einrichtung der Universität Osnabrück, die als Dachorganisation die Promovierenden der Universität aller Fachbereiche vereint und damit die gesamte forschungsorientierte Doktorandenausbildung vernetzt. ZePrOs bietet allen Promovierenden speziell auf ihre Erfordernisse zugeschnittene Qualifikationsangebote und individuelle Förderung an, welche auf die Optimierung ihrer wissenschaftlichen Arbeit und auf den Erwerb arbeitsmarktrelevanter Kompetenzen zielen.